Universidad Alfonso Reyes
Division Preparatoria
Unidad Linda Vista
Materia: Matematicas
Alumna: Thalia Treviño Reyna
Trabajo:Ecuaciones
Grupo:4B
Matricula: L10609
Ecuaciones
En matemáticas, una ecuación es una igualdadnota 1 entre
dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores
conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante
operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes
o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como
resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por
letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la
ecuación
la variable representa la incógnita, mientras que el
coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad
planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores
numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación
es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la
hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor
individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución
es:
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución,
que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se
cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más
ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es
posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad
dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se
dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único
valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una
solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace
cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla)
la expresión se llama identidad.
De manera más general, una ecuación tendrá la forma
donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores
numéricos, variables o funciones (en este último caso se tiene una ecuación
funcional). Por ejemplo, la ecuación real (donde las incógnitas están sobre los
números reales)
tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de
valores
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma
precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en
física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F,
aceleración a y masa m: F = a: Los valores que son solución de la ecuación
anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se
considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de
la ecuación es F = 1 Kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza
permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y
por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Tipos de
ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de
operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el
que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
Ecuaciones
algebraicas Polinómicas o polinomiales
De primer grado o
lineales
De segundo grado o
cuadráticas
Racionales,
aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de
polinimios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no
polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc. Diofánticas o
diofantinas
Ecuaciones diferenciales Ordinarias
En derivadas
parciales
Ecuaciones integrales
Definición general
Dada una aplicación y un elemento del conjunto , resolver
una ecuación consiste en encontrar todos los elementos que verifican la
expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es
cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las
características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de
las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la
aplicación debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las
ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la
forma , pues, si es un grupo basta con definir la aplicación y la ecuación se
transforma en .
Conjunto de
soluciones
Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la
ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto
vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos más posibilidades: puede
tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene
más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata
sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si
una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que
se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de
ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo
puede ser un número entero, es decir, en este caso . Una ecuación funcional es
aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son
realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador
diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando es un cuerpo y un polinomio,
se tiene ecuación algebraica polinómica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un
conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.
Existencia de
soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones
diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe
alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el
conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en
aprovechar que el conjunto tiene alguna topología. No es el único: en los
sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar
si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de
recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones
algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes
complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo
tanto, a la topología.
Ecuación
polinómica
Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre
dos polinomios. Por ejemplo:
Forma canónica
Realizando una misma serie de transformaciones en ambos
miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero.
Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran
elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada
forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones
polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro
es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos
miembros, y luego ordenando, obtenemos
Grado
Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor
exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo
Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se
encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola
variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método
de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois
asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de
segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y
cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de
radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante
el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta
de Jacobi.
Ecuación de primer
grado
Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado
cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna
potencia, es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:
con a diferente de cero.
Su solución es sencilla:
Resolución de
ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven
en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a
continuación mediante un ejemplo.
Dada la ecuación:
Transposición
Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la
incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo;
y todos los términos independientes (los que no tienen x o la incógnita del
problema) en el otro miembro. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que:
Si se suma o se resta un mismo monomio en los dos miembros,
la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se dice que: si un término está
sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x
a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro
lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la
variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y
los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la
derecha.
Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra
equivalente más simple y corta. Si se efectua la simplificación del primer
miembro:
Y se simplifica el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
Despeje
Ahora es cuando se llega al objetivo final: que la
incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual se recorda
que:
Si se multiplica o se divide ambos miembros por un mismo
número diferente de cero, la igualdad no varía
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número
la está multiplicando (Ej: 5x) y no hay ningún otro término sumando o restando
en ese mismo miembro, se pasa dicho número al otro lado dividiendo (n/5) sin
cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo
pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Al pasar el 5 dividiendo al otro lado, lo que estamos
haciendo en realidad es dividir ambos miembros entre 5. Entonces, en el miembro
donde estaba el 5 obtenemos 5/5, que se anula quedando sólo la x (decimos que
el 5 que multiplicaba desaparece del primer miembro). En el otro lado, en
cambio, el 5 que agregamos dividiendo no puede anularse (decimos que aparece
dividiendo como si hubiera pasado de un lado a otro con la operación convertida
en su inversa).nota 3
Volviendo al ejemplo, debemos entonces pasar el número 95
al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar
de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos
una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos
simplificar.
Se puede resolver la fracción (numerador dividido entre
denominador) si el resultado fuera exacto; pero como en este caso es decimal
(525:95 = 5,5263157894737) se simplifica y ésa es la solución:
Ejemplo de
problema
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que
tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos.
¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el
enunciado como una ecuación:
Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que
tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver
claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los
términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier
término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del
álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación,
el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar,
dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número,
sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por
-1 obtendremos:
El problema está resuelto
Ecuación de
segundo grado
Artículo principal: Ecuación de segundo grado.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la
forma canónica
Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel
en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del
término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está
elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de
la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las
ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir.
Cuando esta ecuación se plantea sobre siempre se tienen dos soluciones:
Obviamente la condición para que la ecuación tenga
solución sobre los números reales se requiere que y para que tenga soluciones
sobre los números racionales se requiere .
Operaciones
admisibles en una ecuación
Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con
números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de
forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo
ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no
cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de
álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:
1.Sumar cualquier
número a ambos lados de la ecuación.
2.Restar cualquier
número a ambos lados de la ecuación.
3.Dividir entre un
número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
4.Multiplicar por
cualquier número ambos lados de la ecuación.
5.Si f inyectiva
se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.
Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden
alterar el conjunto de soluciones:
1.Simplificar
dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos
factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe
aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido.
Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se
dividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la
ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
2.Si se aplica una
función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante
puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.
Tipos de ecuación
algebraica
Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones
algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una
ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los
dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es
condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número
de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la
ecuación se llama identidad.
Historia
Antigüedad
Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas
cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de
materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de
primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo
aproximado llamado el "método de la falsa posición".
Los matemáticos chinos de principios de nuestra era
escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon
diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo
grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su
Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado;
fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones.
También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor
ecuaciones diofánticas.1
Siglos XV - XVI
Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las
ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la
orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así,
un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer
grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.
Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos
Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas
las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los números
imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también
halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.
En el mismo siglo el matemático francés René Descartes
popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están
representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables
o incógnitas por las últimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de
ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, algunos que sólo
recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el último teorema de Fermat,
uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta
1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.
Siglos XVII-XVIII
En el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros
métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los
problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones
fue “Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado” de
Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII matemáticos ilustres como
Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican
resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas
parciales.
Época moderna
A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores,
las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser
resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una
solución general. A principios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay
ecuaciones no resolubles; en particular mostró que no existe una fórmula
general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois
demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda
ecuación de grado igual o superior a cinco.
Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su
formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones
integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la
mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas
ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de una nueva especialidad,
la física matemática
Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su
campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulan ecuaciones diferenciales
con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones
tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen
también un amplio campo de aplicación en teoría económica.
Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en
la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente,
es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El
desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables
ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos
numéricos.
Notas
1.↑ Si en lugar de una igualdad se trata de una
desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
2.↑ Las
identidades no son consideradas ecuaciones, ya que en ellas no cabe el concepto
de solución.
3.↑ La
generalización de esta explicación requiere conocer el concepto de operación
inversa o simétrica, y puede causar confusión en estudiantes con dificultad
para hallarla. Por ejemplo, no es evidente que a partir de la igualdad 3x = y
pueda despejarse la x como x = log3y.
Referencias
1.↑ Un poquito de la historia del álgebra, Red Escolar,
México, 2008.
Véase también
Ecuación lineal
Ecuación de
segundo grado
Ecuación de tercer
grado
Ecuación de cuarto
grado
Ecuación de quinto
grado
Ecuación química
Sistema de
ecuaciones
Álgebra elemental
Teorema
fundamental del álgebra
Función matemática
Fórmula
Enlaces externos
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frases célebres de o sobre Ecuación.
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de
segundo grado
La ecuación de
primer grado, en descartes.cnice.mec.es
